Правило трех

[mns2012]

Принцип хорошего умозаключения - меньше трех не собираться, нельзя вот так просто сказать, что из А следует Б, требуется, как минимум, третий, т.е. из А и Б следует В.

---

Логика

Тексты следующих трех примеров намекают, что между исходными посылками и выводом есть какая-то связь:

Пример 1. По мотивам загадки Швейка. Так как в каждом этаже по восьми окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта, то бабушка швейцара умерла 12 августа 1908 года.

Пример 2. Эволюционное. Теория эволюции предсказывает, что не будут найдены переходные формы между птицами и млекопитающими, например — ископаемые млекопитающие с перьями.

Пример 3. Биологическое. Ввиду того, что ни один первичноротый не млекопитающий, а все первичноротые - многоклеточные, можно сделать вывод, что некоторые многоклеточные - не млекопитающие.

Пример 4. Физика. Если на тело массой 5 кг действует сила 10Н, то тело имеет ускорение 2 м/(c*c).

В каком из примеров логическая связь есть?

---

Второй закон Ньютона

Пойдем в "обратном порядке" и сначала рассмотрим пример 4. "Cвязности" тут можно достичь через применение математики и Второго закона Ньютона. Зная закон, а также суждения о силе и массе, можно рассуждением получить ускорение:



Как видим, отдельные суждения в этом умозаключении связаны между собой и их четыре - т.е. не меньше трех.

Если логику определить как правила построения рассуждений(умозаключений) из отдельных суждений, то математика тоже становится частью логики. Есть и другие правила составления рассуждений, помимо математических, например, силлогистика.

---

Его Величество Силлогизм

Переходим к биологическому примеру, в нем связное рассуждение может быть построено через силлогистику. Классика силлогизма - модуса Barbara. Такой силлогизм состоит из трех суждений - большой, малой посылок, и вывода. Суждение состоит из субъекта (то, о чем речь) и предиката (свойство субъекта).

Большая посылка. Любой организм - имеет предка
Малая посылка. Бабочка - организм
Заключение. Бабочка - имеет предка

Структура силлогизма:



Суждения соединены в цепочку по правилам - субъект большой посылки совпадает с предикатом малой, вывод составляется из субъекта малой и предиката большой, все четко.

Другой вариант представления:



Существует 19 модусов силлогизма, биологический пример можно записать в виде модуса Felapton:

Большая посылка. Ни один первичноротый - не млекопитающий
Малая посылка. Все первичноротые - многоклеточные
Заключение. Некоторые многоклеточные - не млекопитающие

В этом модусе заключение составляется из предикатов малой и большой посылок, обратим внимание на хитрую смену кванторов "ни один" - "все" - "некоторые".

---

Заключение

В примере со Швейком исходные посылки четко выражены в численном виде, результат тоже понятен, но отсутствует связь между посылками и выводом.

С эволюционным примером ситуация иная, тут есть только результат, какие исходные положения использовали авторы суждения, и как получен вывод - остается загадкой. Кроме того, неясно, каким именно образом найденные фрагменты останков несуществующих ныне животных будут отнесены к млекопитающим, остается только довериться мастерству палеонтологов. К сожалению, такая ситуация типична для эволюционных построений в предсказательной и объяснительной частях, например:

* Теория эволюции предсказывает наличие единого генеалогического древа для всех живых организмов, потому ДНК и ископаемые остатки должны рассказывать одну и ту же историю
* Дарвиновская эволюция предсказывает, что все организмы Земли произошли от общего предка

Легко заметить, что связь опирается на интуицию. Зачастую построения уступают даже загадке Швейка, ввиду неясности исходных посылок и расплывчатости формулировки вывода.

Подытоживая - про некий текст можно сказать "логично", если в нем есть рассуждение (иначе, умозаключение) по правилам. К отдельным суждениям понятие "логично" не применяется, например следующие тексты являются простыми суждениями, задача теоретика связать эти суждения с другими в некую цепь по правилам:

• Сила притяжения между телами прямо пропорциональна массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния


• Био Э. - является результатом изменения частот аллелей генов в популяции в следствии таких факторов как мутации, поток генов, естественный отбор, дрейф генов


• Гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого́ пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии


• any(x, t1, t2) ЗамкнутыйОбъем(x) ^ ВтороеВремяБольшеПервого(t1, t2) ^ НольОдноклеточных(x, t1) => НольОдноклеточных(x, t2)

---

Приложение. Дополнительные способы рассуждений

Как дополнение к математике и силлогистике кратко коснусь логики первого порядка, индукции и абдукции.

---

Логика первого порядка

( any(x) ( Человек(x) => Смертен(x) ) ^ Человек(Конфуций) ) => Смертен(Конфуций)

Для любого x, если x - Человек, то он смертен, и Конфуций, раз он Человек, не исключение. Значком ^ здесь обозначается логическое И, конъюнкция. Эту конструкцию можно записать в виде, похожем на силлогизм:

Большая посылка.  any(x) Человек(x) => Смертен(x)
Малая посылка. Человек(Конфуций)
Заключение. Смертен(Конфуций)

Все вышеперечисленное является дедукцией, т.е. явно или неявно подразумевается, что "для любого..." и так далее. Кроме дедукции выделяют индукцию и абдукцию.

---

Неполная индукция
Построение по неполной индукции имеет вид:

Множество А состоит из элементов: А1, А2, А3, …, Аn.

А1 имеет признак В
А2 имеет признак В
Все элементы от А3 до Аk также имеют признак B
Следовательно, вероятно, Аk+1 и остальные элементы множества А имеют признак В.

Пример - кролики и трилобиты:

В разрезе-1 - нет кроликов ниже трилобитов
В разрезе-2 - нет кроликов ниже трилобитов
...
В разрезе-n - нет кроликов ниже трилобитов
Заключение. В любом разрезе - нет кроликов ниже трилобитов

Пример - осьминожек и человек:

Признак-1(строение глаза) человека - ближе к аналогичному признаку шимпанзе, чем к признаку осьминожка
Признак-2(строение нервной системы) человека - ближе к ...
...
Признак-n(генотип) человека - ближе к ...
Заключение. (Вероятно) Любой признак человека - ближе к ...

Отсюда, кстати, теперь можно построить дедуктивный вывод:

Большая посылка. Любой признак человека - ближе к аналогичному признаку шимпанзе, чем к признаку осьминожка
Малая посылка. Реакция человека на некое лекарство - признак человека
Заключение. Реакция человека на некое лекарство - ближе к аналогичному признаку шимпанзе, чем к признаку осьминожка

При использовании закона, полученного по неполной индукции, легко "вляпаться" в исключение, так что люди изобретают средства достоверность вывода повысить, например, вот здесь авторы предлагают делить неполную индукцию на "популярную" и "научную". Определенное зерно в этом, конечно, есть. С другой стороны, "научность" иногда используется для оправдания применения громоздких конструкций (зачастую неформализуемых) там, где достаточно простейшей "популярной" индукции.

---

Абдукция

Абдукция служит для формализации выдвижения гипотез:

Когда Максвелл впервые проделал это вычисление со своими уравнениями, он сказал, что совокупность электрического и магнитного полей будет распространяться с этой скоростью. Он отметил также таинственное совпадение — эта скорость была равна скорости света. «Мы едва ли можем избежать заключения,— сказал Максвелл,— что свет — это поперечное волнообразное движение той же самой среды, которая вызывает электрические и магнитные явления».

Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Глава 18. Уравнения Максвелла. Скорость света

Формально:

ЭМ волны - распространяются со скоростью "с"
Свет - всегда распространяется со скоростью "с"
Заключение. (Вероятно) Свет - ЭМ-волны

Т.е. вывод получается комбинацией субъектов малой и большой посылок, является гипотезой и требует дополнительной проверки. И опять, заметим, рассуждение составлено из трех суждений.