Пока не забыл
Aug. 27th, 2024 05:39 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mns2012Очень важный момент. Можем ли мы надеяться на то, что "если бы все следовали логике, то споров бы не было вовсе", как утверждает ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
livelogic?
Недолго думая, я забил вопрос в гпт 4.0.
Is ambiguity possible in a formalism (in mathematics)? Give examples if it is. How is this question related to Hilbert's program in mathematics, if at all?
Вот:
Ambiguity in a formalism, especially in the context of mathematics, refers to the possibility of multiple interpretations or meanings within a system that is supposed to be precise and unambiguous. In principle, mathematical formalism is designed to eliminate ambiguity by providing clear definitions, axioms, and rules for inference. However, ambiguity can still arise in certain contexts, even in formal systems. Here are a few examples:
1. Underspecified Formalisms
Example: Consider a formal system that uses a symbol, say ∗, without fully specifying its properties or meaning. If ∗ is introduced without clear definition or rules governing its use, different mathematicians might interpret
∗ differently, leading to ambiguity. For example, in some contexts, ∗ might represent multiplication, while in others it might represent a convolution operation or something entirely different.
Impact: Without explicit definition, the formalism is ambiguous because it leaves open multiple interpretations of the symbol ∗.
2. Context-Dependent Interpretation
Example: In category theory, the term "object" or "morphism" can vary depending on the category being considered. Without explicitly stating the context or category, a statement involving these terms can be ambiguous. For instance, the phrase "a morphism from A to B" is ambiguous if we do not specify in which category we are working because the concept of a morphism depends on the particular category.
Impact: If the context is not clearly defined, the formalism can become ambiguous because the same symbols and terms might have different meanings.
3. Incompleteness and Gödel’s Theorems
Example: Gödel's incompleteness theorems demonstrate that in any sufficiently powerful formal system (such as Peano arithmetic), there exist true statements that cannot be proven within the system. This can introduce ambiguity regarding what is provable versus what is true, especially if one is restricted to reasoning within the formal system.
Impact: While not ambiguity in the traditional sense, it introduces a kind of "meta-ambiguity" where the system cannot fully resolve all mathematical truths.
Relation to Hilbert’s Program
Hilbert’s program, initiated by the mathematician David Hilbert in the early 20th century, aimed to formalize all of mathematics in a complete and consistent set of axioms. The goal was to eliminate ambiguity and uncertainty by ensuring that every mathematical statement could either be proved or disproved within this formal system. Hilbert's program sought to provide a foundation for mathematics that was free from ambiguity by relying on a rigorous, formal approach.
However, the discovery of Gödel's incompleteness theorems in 1931 significantly impacted Hilbert’s program. Gödel showed that no sufficiently complex formal system can be both complete and consistent, meaning that there will always be some true statements that the system cannot prove. This result demonstrated an inherent limitation in formal systems and implied that Hilbert’s goal of complete formalization could not be fully achieved.
Conclusion
Ambiguity in formalism can occur, typically when the formalism is not fully specified, when symbols and terms are context-dependent, or when the limitations of the formal system itself (as highlighted by Gödel’s theorems) prevent it from fully capturing all mathematical truths. This issue is deeply related to Hilbert’s program, as the existence of such ambiguities and incompleteness directly challenges the idea that all of mathematics can be completely formalized in a way that is free of ambiguity.
livelogic?Недолго думая, я забил вопрос в гпт 4.0.
Is ambiguity possible in a formalism (in mathematics)? Give examples if it is. How is this question related to Hilbert's program in mathematics, if at all?
Вот:
Ambiguity in a formalism, especially in the context of mathematics, refers to the possibility of multiple interpretations or meanings within a system that is supposed to be precise and unambiguous. In principle, mathematical formalism is designed to eliminate ambiguity by providing clear definitions, axioms, and rules for inference. However, ambiguity can still arise in certain contexts, even in formal systems. Here are a few examples:
1. Underspecified Formalisms
Example: Consider a formal system that uses a symbol, say ∗, without fully specifying its properties or meaning. If ∗ is introduced without clear definition or rules governing its use, different mathematicians might interpret
∗ differently, leading to ambiguity. For example, in some contexts, ∗ might represent multiplication, while in others it might represent a convolution operation or something entirely different.
Impact: Without explicit definition, the formalism is ambiguous because it leaves open multiple interpretations of the symbol ∗.
2. Context-Dependent Interpretation
Example: In category theory, the term "object" or "morphism" can vary depending on the category being considered. Without explicitly stating the context or category, a statement involving these terms can be ambiguous. For instance, the phrase "a morphism from A to B" is ambiguous if we do not specify in which category we are working because the concept of a morphism depends on the particular category.
Impact: If the context is not clearly defined, the formalism can become ambiguous because the same symbols and terms might have different meanings.
3. Incompleteness and Gödel’s Theorems
Example: Gödel's incompleteness theorems demonstrate that in any sufficiently powerful formal system (such as Peano arithmetic), there exist true statements that cannot be proven within the system. This can introduce ambiguity regarding what is provable versus what is true, especially if one is restricted to reasoning within the formal system.
Impact: While not ambiguity in the traditional sense, it introduces a kind of "meta-ambiguity" where the system cannot fully resolve all mathematical truths.
Relation to Hilbert’s Program
Hilbert’s program, initiated by the mathematician David Hilbert in the early 20th century, aimed to formalize all of mathematics in a complete and consistent set of axioms. The goal was to eliminate ambiguity and uncertainty by ensuring that every mathematical statement could either be proved or disproved within this formal system. Hilbert's program sought to provide a foundation for mathematics that was free from ambiguity by relying on a rigorous, formal approach.
However, the discovery of Gödel's incompleteness theorems in 1931 significantly impacted Hilbert’s program. Gödel showed that no sufficiently complex formal system can be both complete and consistent, meaning that there will always be some true statements that the system cannot prove. This result demonstrated an inherent limitation in formal systems and implied that Hilbert’s goal of complete formalization could not be fully achieved.
Conclusion
Ambiguity in formalism can occur, typically when the formalism is not fully specified, when symbols and terms are context-dependent, or when the limitations of the formal system itself (as highlighted by Gödel’s theorems) prevent it from fully capturing all mathematical truths. This issue is deeply related to Hilbert’s program, as the existence of such ambiguities and incompleteness directly challenges the idea that all of mathematics can be completely formalized in a way that is free of ambiguity.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2024-08-27 04:44 pm (UTC)"если бы все следовали логике [опираясь на мой набор аксиом], то споров бы не было вовсе" )
no subject
Date: 2024-08-27 05:15 pm (UTC)no subject
Date: 2024-08-27 05:28 pm (UTC)Подробнее о рейтинге читайте в Справке (https://www.dreamwidth.org/support/faqbrowse?faqid=303).
no subject
Date: 2024-08-27 05:28 pm (UTC)Формально ambiguity это в рамках логики просто ambiguity и спорить тут не о чем.
Спорят, конечно, всегда только о рамке где и из каких посылок будет работать логика. Рамка у всех очень, очень разная и упирается обычно в "должное" по Юму. Должное, как мы знаем из логики никак не выводится.
no subject
Date: 2024-08-27 05:47 pm (UTC)no subject
Date: 2024-08-28 03:59 pm (UTC)no subject
Date: 2024-08-28 04:52 pm (UTC)— Параллельные прямые пересекаются!
— Нет, не пересекаются!
---
— Бог есть!
— Нет, Бога нет!
---
— Мир познаваем!
— Нет, мир не познаваем!
---
— Личность существует!
— Нет, личность это иллюзия!
etc.
no subject
Date: 2024-08-28 05:00 pm (UTC)> — Нет, не пересекаются!
Так это не спор, с применением логики. Это взаимная демонстрация утверждений, принятых без доказательств. Логики тут вообще нет.
Т.е. если это и спор, то спор без применения логики. Без неё, родимой, ЕИ и спорят.
no subject
Date: 2024-08-28 05:04 pm (UTC)- Попка дурак!
- Попка не дурак!
- Попка дурак!
- Попка не дурак!
- Попка дурак!
- Попка не дурак!
Собс-но, да, типичный спор ЕИ.
no subject
Date: 2024-08-28 05:05 pm (UTC)Это максимально компактифицированный пример спора, опирающегося на разный набор аксиом. В вашем запросе не было сказано "Можете продемонстрировать компактный пример спора использующего логические рассуждения, опирающегося на разный набор аксиом?"
Вы вполне можете добавить сколько угодно шагов, чтобы там была использована логика. Эти споры можно разворачивать от любого наблюдения через любую цепочку логических шагов как угодно долго к описанным итогам.
— Это параллельные прямые.
— Следует это доказать.
— Смотрите вот прямая которая пересекает их под одним углом, вот эти углы равны.
— Да, пожалуй это параллельные прямые.
— Значит у них нет общих точек.
— Боюсь это неверный вывод.
— Смотрите, это параллельные прямые, у них есть свойство — у них нет общих точек.
— Да нет же, есть. У них есть одна общая точка.
— Параллельные прямые не пересекаются!
— Нет пересекаются!
no subject
Date: 2024-08-28 05:06 pm (UTC)Любое рассуждение опирается на какие-то аксиоматические основания, когда мы до них доходим, то дальше движение "по логике" перестаёт быть возможным.
Собственно ценность споров обычно в том, чтобы прояснить различия в аксиомах спорящих. Иной истины они не проявляют.
no subject
Date: 2024-08-28 05:11 pm (UTC)Понятно, у Вашей нейронки очень маленькое контекстное окно, учесть контекст: "Можем ли мы надеяться на то, что "если бы все следовали логике, то споров бы не было вовсе" пока нет возможности.
Но посмотрим на выдачу.
— Это параллельные прямые.
— Следует это доказать.
— Смотрите вот прямая которая пересекает их под одним углом, вот эти углы равны.
— Да, пожалуй это параллельные прямые.
— Значит у них нет общих точек.
Это логически бессвязно.
— Смотрите, это параллельные прямые, у них есть свойство — у них нет общих точек.
— Да нет же, есть. У них есть одна общая точка.
А здесь нет логики.
no subject
Date: 2024-08-28 05:12 pm (UTC)— Но ведь никакой точки пересечения между параллельными прямыми нет, сколько не искал — не нашёл.
— Но если мы определим, что она есть, то получим интересное новое пространство мышления.
— Я не хочу получать интересное новое пространство мышления, мне важны факты.
... конец на другой аксиоме ...
no subject
Date: 2024-08-28 05:14 pm (UTC)Но это не спор, это поиск аксиом.
Очень полезное занятие, но обычно этим ЕИ как раз не занимаются, и идет холивар на основе глюков внутренних нейросетей спорящих.
no subject
Date: 2024-08-28 05:15 pm (UTC)Если вы хотите перейти на личности, то можно. Но к логике это отношения не имеет.
Если вы не понимаете, что любое логическое рассуждение опирается на умолчания принимаемые как не требующие логического доказательства, то наши аксиомы слишком сильно расходятся для спора.
no subject
Date: 2024-08-28 05:18 pm (UTC)Насколько я вижу вы описываете неких "ЕИ" как практикующих "холивар на основе глюков внутренних нейросетей". Это не имеет отношения к логике, но имеет отношение к качеству дискуссии и, в общем, указывает на низкое качество таковой с вашей стороны. В этом смысле вы уподобляетесь упомянутым "ЕИ", кто бы они ни были.
no subject
Date: 2024-08-28 05:22 pm (UTC)Собственно, это факт такой. Вы написали уже довольно много текста совершенно не используя логику, ну, там, силлогистика, логика первого порядка и так далее.
Это - типичная ЕИ-"заруба" без использования логики. Напиши Вы пару силлогизмов (практически невероятная история для ЕИ), ситуация развивалась бы иначе.
> В этом смысле вы уподобляетесь упомянутым "ЕИ"
Это верно.
no subject
Date: 2024-08-28 05:23 pm (UTC)Как и то, что Вы написали. Что, конечно, работает на исходный тезис "если бы все следовали логике, то споров бы не было вовсе".
no subject
Date: 2024-08-28 05:24 pm (UTC)Я просто указал на факт. Указание на факты имеют отношение к логике?
no subject
Date: 2024-08-28 05:28 pm (UTC)Это хороший поворот дискуссии, выяснить определения, спасибо.
Под "логикой" я понимаю правила составления умозаключений из суждений. "Использование логики" - это построение умозаключений согласно правилам.
"Указание на факты" - это составление отдельных суждений, использования логики тут пока нет.
no subject
Date: 2024-08-28 05:29 pm (UTC)И второй важный вопрос — "если бы все следовали логике" это необходимое или достаточное условие?
no subject
Date: 2024-08-28 05:31 pm (UTC)Спасибо.
Как вы считаете, как именно "факты" особенно "факты, приводимые в рамках дискуссии" выбираются из бесконечного множества непрерывных феноменов бытия?
no subject
Date: 2024-08-28 05:31 pm (UTC)Я рад, что разговор перешёл в конструктивное русло.
1. Следование логике => Отсутствие спора.
2. Нежелание спорить => Отсутствие спора.
"Следование логике" - достаточное условия для отсутствия спора.
Тут бы конечно надо определить, что такое "спор".
no subject
Date: 2024-08-28 05:34 pm (UTC)Т.е. "следование логике" приводит к отсутствию спора при условии любых других факторов, включая разные наборы фактов, разные языки общения, разные культуры, разные аксиомы мышления? Это звучит как очень сильное утверждение. Следовало бы его доказать. Кстати интересно, а как вы будете его доказывать, дедуктивно или индуктивно?
no subject
Date: 2024-08-28 05:35 pm (UTC)no subject
Date: 2024-08-28 05:36 pm (UTC)Замнём для ясности. Но вопрос важный, следует запустить его в фоновом режиме на несколько лет.
no subject
Date: 2024-08-28 05:39 pm (UTC)no subject
Date: 2024-08-28 05:41 pm (UTC)Все известные мне люди, которые умерли ели огурцы. Следовательно есть огурцы — достаточное условие для гибели. Достаточно ли надёжно это индуктивное обобщение?
no subject
Date: 2024-08-28 05:45 pm (UTC)Я предлагаю более надёжное логическое обоснование. Индукция, конечно, тут слабовата.
Обсуждение полностью соответствующее правилам логики не есть спор по определению, поскольку это просто проведение логического вычисления. А проведение логического вычисления не может быть спором, поскольку там есть стороны выполняющие правила и следящие за их соблюдением, но нет спорящих сторон — разных позиций.
Следовательно спор, состоящий только из логического вычисления не существует — это бы противоречило первой пропозиции. Доказательство от противного.
Да, такой вывод неизбежен при выбранных посылках. Надо только сделать скидку на то, что в реальности достижение такого рода обсуждение невозможно по причинам невозможности сформировать общую рамку разрешения логической задачи.
no subject
Date: 2024-08-28 05:46 pm (UTC)Логика (в моих дефинициях) не занимается вопросами надёжности.
> Все известные мне люди, которые умерли ели огурцы. Следовательно есть огурцы — достаточное условие для гибели.
Это верно. Поедание огурцов => смерть, исключений нет.
Вопрос во времени смерти, но исходные данные не дают оснований для таких рассуждении.
По сути это экзистенциальное высказвание:
∀T1 (Съел(Человек,Огурец,T1)⇒∃T2 (T2>T1∧Смерть(Человек,T2)))
Согласно Попперу такие высказывания являются метафизическими и не подлежат использованию в естественных науках.
no subject
Date: 2024-08-28 05:50 pm (UTC)Означает ли это, что ваше высказывание это одно из метафизических по Попперу и "не подлежат использованию в естественных науках"? Или тут есть какая-то разница.
no subject
Date: 2024-08-28 05:54 pm (UTC)Критерии для "законов" я разбирал в одном из последних своих постов, "Законы природы и пустота".
Поппер: Мы видим, что в такой формулировке законы природы можно сравнить с “проскрипциями”, или “запретами”. Они не утверждают, что нечто существует или происходит, а отрицают что-то. Они настаивают на несуществовании определенных вещей или положений дел, запрещая или устраняя их.
В этом смысле мой закон соответствует эталону:
¬∃Спор (Корректная_Логика(Спор))
В ЕН использовать нельзя, это метанаука.
no subject
Date: 2024-08-28 06:06 pm (UTC)Давайте рассмотрим Спор как некий набор утверждений на которые применяются правила логики.
Если набор этих утверждений внутренне, логически непротиворечив, то применение правил логики есть просто разрешение логической задачи и это не спор.
Если набор утверждений содержит противоречия или относится к разным задачам, то следуя за корректной логике мы просто придём к противоречию. "Тут есть противоречие в фактах, в выбранных суждениях". Поможет ли такой вывод избежать спора? Мы снова возвращаемся к вопросу как именно выбираются суждения для спора, что есть факты.
no subject
Date: 2024-08-28 07:43 pm (UTC)