Теоремы доказываются, теории - нет

[mns2012]

Эпистемологический кусок из статьи в википедии о теоремах. Этого вопроса несколько касался мой недавний разговор с одним оппонентом, сторонником геоцентризма. Поэтому выкладываю.

Theorems in mathematics and theories in science are fundamentally different in their epistemology. A scientific theory cannot be proved; its key attribute is that it is falsifiable, that is, it makes predictions about the natural world that are testable by experiments. Any disagreement between prediction and experiment demonstrates the incorrectness of the scientific theory, or at least limits its accuracy or domain of validity. Mathematical theorems, on the other hand, are purely abstract formal statements: the proof of a theorem cannot involve experiments or other empirical evidence in the same way such evidence is used to support scientific theories.

Comments

[skogar.livejournal.com]

Зачем мне это? Мне можете сказать, что именно доказано, и, если заинтересует, то как дела с расшифровкой смысла.

[mns2012]

==Зачем мне это?==

Какой-то у нас странный разговор, Вам не кажется? Я Вам пытаюсь показать, что реальная работа в математике сегодня неизбежно затрагивает различные аспекты "прикладных" (условно говоря) разделов математики. "Чистой математики" нет. Как только я Вам предлагаю новый вопрос для подтверждения моего тезиса, Вы говорите: "сам доказывай" и "зачем мне это"?

Наверное, незачем. Только тогда зачем высказываться, если нет желания пояснить свою мысль?

[skogar.livejournal.com]

Зачем Вы предлагаете мне проверять чей-то машинный счёт? Даже если бы я согласился, что это дало бы для нашего разговора?

Что касается моего тезиса, я готов его повторить: есть традиционная математика (чистая), построенная на выводе теорем из аксиом, и есть такая, в которой этого нет.

-- Я Вам пытаюсь показать, что реальная работа в математике сегодня неизбежно затрагивает различные аспекты "прикладных" (условно говоря) разделов математики.

Покажите. Пока я не видел у Вас такой аргументации.
Не затрагивает: если чистые математики работают с прикладными задачами, то по своим правилам.

[mns2012]

Theorem proving - чем не пример? Автоматизация рассуждений. Это теперь практика. Как и всякая практическая задача, она включает валидацию. Я Вас спросил: Вы готовы всю жизнь проверять с карандашом выкладки из theorem prover? Принципиально всё можно проверить с карандашом и бумагой в руках. Но Вы это готовы делать лично? Если нет, то перед Вами неизбежно встают совершенно другие вопросы: как производить валидацию, тестирование и пр. Это то, с чем реально работающие в математике люди сталкиваются.

Другой пример: теория комбинаторного поиска. Там тоже доказываются теоремы (какие-нибудь условия достижения generalised arc consistency и пр. вещи), делаются выводы по правилам математической логики и пр. Это явный пример касательства смежных областей. Чистая математика сегодня - это прошлое.

То, что где-то формулируются и доказываются какие-то теоремы? Да это происходит везде, сплошь и рядом. В целях ясности изложения автор какой-нибудь статьи по прикладной математике может сформулировать свою мысль в виде теоремы и предложить её доказательство. Что в этом особенного?

Ваш критерий разделения на чистую и нечистую математику кхм, основанный на факте theorem proving, иллюзорен, или представляет собой пример вкусовщины, если использовать Ваши слова.

[skogar.livejournal.com]

-- Чистая математика сегодня - это прошлое.

Зачем Вам это нужно? Это не так. Классические области чистой математики - алгебра, анализ, геометрия, дифф.уры, т.вероятностей - продолжают существовать в привычном старом добром формате и никаких причин для какого-либо пересмотра их правил нет и не предвидится.

Вы привели другие довольно частные области, где может быть что-то где-то и размывается. Но я ведь и говорил (https://mns2012.livejournal.com/869658.html?thread=2933274#t2933274), что думаю, что кое-что у Вас получилось бы. Только напрасно Вы это понимаете слишком широко, перенося это и на всю чистую математику.

[mns2012]

==Зачем Вам это нужно?==

Странный вопрос. Весь разговор затеялся от Вашего комментария, где Вы проводите границу чистая математика - нечистая математика. Я всего лишь говорю, что эта граница достаточно условна, вот и всё. Я уже привел ВАм достаточно примеров размытия этой воображаемой границы на практике. Дифф. уравнения в настоящее время немыслимы без численных методов. Численные методы - это вопросы сходимости, устойчивости, точности и пр. прикладные вопросы. Без них и в анализе делать нечего сегодня.

Если Вы говорите об учебниках - то это не то. Там да, разделение это есть, но оно делается в дидактических целях. Иначе как это всё изучать?

Я даже Вам сказал, что это не мое собственное мнение, но что я всего лишь привел мнение знаменитого математика Чейтина. Это достаточно очевидная вещь и мне не очень понятно, зачем спорить с очевидностями.

[skogar.livejournal.com]

-- Я всего лишь говорю, что эта граница достаточно условна, вот и всё.

Вот я про это и спрашиваю, зачем продвигать эту мысль. На стыке прикладной и чистой математики что-то может размываться, но в классических предметах нет ничего подобного. Совсем!

[mns2012]

Классические предметы существуют только в учебниках для студентов.

[skogar.livejournal.com]

Теперь Вы уже отрицаете существование классических предметов чистой математики. Они есть, люди этим занимаются в университетах и академических институтах.
Хотя это обычно не приносит быстрых денег, как сейчас любят.

[mns2012]

Ничего я не отрицаю. В целях образования такие предметы нужно выделять. Но на практике нет такого разделения.

[skogar.livejournal.com]

Чистая наука живёт своей жизнью, прикладная - своей. Они взаимосвязаны, но существуют в своих рамках.

[skogar.livejournal.com]

-- Дифф. уравнения в настоящее время немыслимы без численных методов. Численные методы - это вопросы сходимости, устойчивости, точности и пр. прикладные вопросы. Без них и в анализе делать нечего сегодня.

Сходимость и устойчивость прекрасно живут и безотносительно к численным методам. Анализ вообще почти что не об этом. Даже где это выходит на практику - никаких отходов от принципа аксиомы-теоремы не наблюдается. Зря спорите, уж извините.

[mns2012]

==Сходимость и устойчивость прекрасно живут и безотносительно к численным методам.==

А они-то откуда появились?! Кому они были бы нужны без численных методов?

Вот я не поленился и забил в гугле современные научные статьи по ode

https://www.sciencegate.app/keyword/8996

Посудите сами, о чем они. Спор этот никуда не ведёт.

[skogar.livejournal.com]

Численные методы следуют за чистой наукой. Сначала основа, и там жизнь идёт по своим правилам. Кто ближе к практике - реализует теорию в более прикладных задачах.
Вы нашли прикладные журналы, поищите тогда и чистые - мне бы тоже было любопытно глянуть, что они сейчас публикуют.

[mns2012]

Я же уже присылал гугл по ODE, которую Вы относите к "чистой" математике.

Подразделение на чистую и прикладную давно устарело. Никто сейчас не сидит в кресле-качалке с сигарой в руках и стаканом портвейна над какой-нибудь "чистой" теоремой. Всё давно уже смешалось, как и везде.

[skogar.livejournal.com]

-- Никто сейчас не сидит в кресле-качалке с сигарой в руках и стаканом портвейна над какой-нибудь "чистой" теоремой.

Сидит, как и в старые времена.

В дифференциальных уравнениях есть базовая часть, которую традиционно относят к чистой математике. Мне легко себе представить и их развитие в более прикладные стороны.

Прикладные науки развиваются, появляются новые, но чистая математика живёт практически так же, как и раньше. Не устарело, не смешалось.
Я Вам дело говорю, но если Вы так упорно стоите на своём, то пусть так и будет.