![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mns2012Крах программы Давида Гильберта и последующее появление теорем Гёделя стали поворотным моментом в понимании пределов логики, вычислений и самой реальности.
В начале XX века Давид Гильберт предложил программу по созданию надежного фундамента для всей математики. Он предположил, что математику можно полностью формализовать: превратить в «механистическую систему доказательств», где символы манипулируются согласно строгим правилам (синтаксис) без какой-либо необходимости в их значении (семантика).
Гильберт стремился доказать три свойства этой системы:
Курт Гёдель в 1931 году своими теоремами о неполноте показал, что цели Гильберта взаимоисключающи для любой системы, достаточно мощной для описания базовой арифметики.
Две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
Теоремы No Free Lunch (NFL) из области оптимизации и машинного обучения (Уолперт и Макриди) утверждают, что не существует универсального алгоритма, который работал бы лучше любого другого, если усреднить результаты по всем возможным задачам.
Связь между утверждениями Гёделя, Розена и NFL-теоремами заключается в том, что все они говорят о пределах универсальности:
1. Механистическая мечта Гильберта
В начале XX века Давид Гильберт предложил программу по созданию надежного фундамента для всей математики. Он предположил, что математику можно полностью формализовать: превратить в «механистическую систему доказательств», где символы манипулируются согласно строгим правилам (синтаксис) без какой-либо необходимости в их значении (семантика).
Гильберт стремился доказать три свойства этой системы:
- Полнота: Любое истинное математическое утверждение может быть доказано внутри системы.
- Непротиворечивость: Система никогда не приведет к логическому противоречию (например, к выводу, что 0=1).
- Разрешимость: Существует механическая процедура (алгоритм), позволяющая определить, доказуемо ли любое данное утверждение.
Гильберт полагал, что если свести математику к чистому синтаксису, больше не придется беспокоиться о «неуловимой» природе интуиции или смысла.
— Как было бы хорошо!
2. Теоремы Гёделя о неполноте: cемантический разрыв
Курт Гёдель в 1931 году своими теоремами о неполноте показал, что цели Гильберта взаимоисключающи для любой системы, достаточно мощной для описания базовой арифметики.
Две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
- Первая теорема: В любой непротиворечивой формальной системе F существуют утверждения, которые истинны, но не могут быть доказаны с помощью правил системы F.
- Вторая теорема: Такая система F не может доказать свою собственную непротиворечивость.
Как это связано с семантикой: Гёдель использовал метод под названием «гёделевская нумерация», чтобы формальная система могла строить высказывания о самой себе. Он сконструировал самоотносимое утверждение: «Это утверждение недоказуемо в системе F».
- Если система доказывает его, она противоречива.
- Если система не может его доказать, то утверждение истинно, но система неполна.
Таким образом, после того, как Гёдель представил доказательство своих теорем, стало ясно, что истина (семантика) — более широкая категория, чем доказуемость (синтаксис). Невозможно «механизировать» всю математику, потому что всегда будут существовать истинные высказывания, недоказуемые в рамках данной формальной системы. Для того, чтобы их доказать, систему нужно расширять, но в расширенной "гёделизированными" высказываниями системе будет возможность сформулировать новые недоказумые для неё высказывания и т.д. ad infinitem.
Горячий привет редукционистам!
Теоретический биолог Роберт Розен перенес эту критику на моделирование сложных систем, в частности, живых организмов. Он утверждал, что если существует фундаментальное различие между реальным объектом и формальной моделью, то это тем более верно в отношении изучения жизни. Он выступал против того, чтобы рассматривать жизнь как машину, и говорил, что для изучения сложноорганизованных систем требуется разработка совершенно нового научного аппарата.
Моделирующее отношение Розена состоит из двух частей:
В понимании Розена жизнь включает в себя «замкнутые петли причинности», которые «линейная» механистическая система не может уловить. Наличие остатка является иллюстрацией того, что модель и реальность не одно и то же. Семантика живого не может быть полностью редуцирована к синтаксису модели, какой бы сложной эта модель ни была.
Горячий привет редукционистам!
3. Роберт Розен и «неустранимый семантический остаток»
Теоретический биолог Роберт Розен перенес эту критику на моделирование сложных систем, в частности, живых организмов. Он утверждал, что если существует фундаментальное различие между реальным объектом и формальной моделью, то это тем более верно в отношении изучения жизни. Он выступал против того, чтобы рассматривать жизнь как машину, и говорил, что для изучения сложноорганизованных систем требуется разработка совершенно нового научного аппарата.
Моделирующее отношение Розена состоит из двух частей:
- Кодирование: Отображение природного явления в формальную систему (синтаксис).
- Декодирование: Отображение результатов работы формальной системы обратно на реальный мир (семантика).
Розен утверждал, что в «простых» системах (механизмах) кодирование и декодирование идеально совпадают. Однако в сложных системах (таких, как жизнь) всегда присутствует неустранимый семантический остаток (semantic residue). Этот остаток — та часть поведения и «смысла» системы, которая теряется при попытке представить её в виде синтаксической, алгоритмической модели (машины).
В понимании Розена жизнь включает в себя «замкнутые петли причинности», которые «линейная» механистическая система не может уловить. Наличие остатка является иллюстрацией того, что модель и реальность не одно и то же. Семантика живого не может быть полностью редуцирована к синтаксису модели, какой бы сложной эта модель ни была.
4. Связь с NFL-теоремами
Теоремы No Free Lunch (NFL) из области оптимизации и машинного обучения (Уолперт и Макриди) утверждают, что не существует универсального алгоритма, который работал бы лучше любого другого, если усреднить результаты по всем возможным задачам.
Связь между утверждениями Гёделя, Розена и NFL-теоремами заключается в том, что все они говорят о пределах универсальности:
- Гёдель: Не существует универсальной формальной системы, способной охватить всю математическую истину.
- Розен: Не существует универсальной механистической модели, способной охватить всю биологическую реальность.
- Уолперт и Макриди: Не существует универсального алгоритма, который был бы максимально эффективен для любой возможной задачи.
Все три концепции демонстрируют, что «механика» (алгоритмы/синтаксис) всегда ограничена, борьба с ней может осуществляться только экстенсивно. Если вы получаете преимущество в одной области (специализируя свой синтаксис для решения конкретной задачи), вы неизбежно теряете его в других. Вот поэтому, кстати, не будет никакой ai-сингулярности. «Семантический остаток» у Розена аналогичен «структуре задачи» в NFL — это специфический, неслучайный смысл системы, который механизм не может учесть без предварительного «знания» или специализированной «семантики».
Ещё один привет редукционистам!
5. Законы движения + ограничения. Распознавание дизайна
Законы движения материи и ограничения эпистемологически комплементарны (о, как завернул!). Попросту говоря, они взаимно дополняют друг друга и не имеют смысла одни без других! Первым об этом сказал ещё И. Ньютон. И это, по мнению Ю. Вигнера, явилось самым большим вкладом И. Ньютона в науку.
По этой причине попытки «свести всё к законам природы», за что довольно часто выступают интернет-эксперты, эпистемологически некорректны. Редукционизм всегда локален. Он не может предоставить автоматического решения всех проблем на все случаи жизни для всех времён и народов.
Чем более специфичны и сложны граничные условия, тем больше активной информации привносит инженер в прагматический контекст искусственной системы и тем более интеллектуальным становится её поведение (принцип GIGO: garbage in — garbage out, что заложишь, то и получишь).
Это всё прямиком приложимо к живым организмам. Живое имеет характеристики лингвистических систем. В частности, оно наделено специфическими лингвистическими ограничениями: иерархия управления + символьные граничные условия на движение частиц вещества в системе (Х. Патти).
Жизнь — это артефакт.
Ещё один привет редукционистам!
5. Законы движения + ограничения. Распознавание дизайна
Законы движения материи и ограничения эпистемологически комплементарны (о, как завернул!). Попросту говоря, они взаимно дополняют друг друга и не имеют смысла одни без других! Первым об этом сказал ещё И. Ньютон. И это, по мнению Ю. Вигнера, явилось самым большим вкладом И. Ньютона в науку.
По этой причине попытки «свести всё к законам природы», за что довольно часто выступают интернет-эксперты, эпистемологически некорректны. Редукционизм всегда локален. Он не может предоставить автоматического решения всех проблем на все случаи жизни для всех времён и народов.
Чем более специфичны и сложны граничные условия, тем больше активной информации привносит инженер в прагматический контекст искусственной системы и тем более интеллектуальным становится её поведение (принцип GIGO: garbage in — garbage out, что заложишь, то и получишь).
Это всё прямиком приложимо к живым организмам. Живое имеет характеристики лингвистических систем. В частности, оно наделено специфическими лингвистическими ограничениями: иерархия управления + символьные граничные условия на движение частиц вещества в системе (Х. Патти).
Жизнь — это артефакт.
