Гильберт, Розен, Гёдель (куда ж без него), Уолперт и Макриди, Ньютон и Патти

Крах программы Давида Гильберта и последующее появление теорем Гёделя стали поворотным моментом в понимании пределов логики, вычислений и самой реальности.

1. Механистическая мечта Гильберта

В начале XX века Давид Гильберт предложил программу по созданию надежного фундамента для всей математики. Он предположил, что математику можно полностью формализовать: превратить в «механистическую систему доказательств», где символы манипулируются согласно строгим правилам (синтаксис) без какой-либо необходимости в их значении (семантика).

Гильберт стремился доказать три свойства этой системы:

• Полнота: Любое истинное математическое утверждение может быть доказано внутри системы.


• Непротиворечивость: Система никогда не приведет к логическому противоречию (например, к выводу, что 0=1).


• Разрешимость: Существует механическая процедура (алгоритм), позволяющая определить, доказуемо ли любое данное утверждение.

Гильберт полагал, что если свести математику к чистому синтаксису, больше не придется беспокоиться о «неуловимой» природе интуиции или смысла.

— Как было бы хорошо!

( Read more... )