Теоремы доказываются, теории - нет

[mns2012]

Эпистемологический кусок из статьи в википедии о теоремах. Этого вопроса несколько касался мой недавний разговор с одним оппонентом, сторонником геоцентризма. Поэтому выкладываю.

Theorems in mathematics and theories in science are fundamentally different in their epistemology. A scientific theory cannot be proved; its key attribute is that it is falsifiable, that is, it makes predictions about the natural world that are testable by experiments. Any disagreement between prediction and experiment demonstrates the incorrectness of the scientific theory, or at least limits its accuracy or domain of validity. Mathematical theorems, on the other hand, are purely abstract formal statements: the proof of a theorem cannot involve experiments or other empirical evidence in the same way such evidence is used to support scientific theories.

Comments

[skogar.livejournal.com]

Она не может размываться: есть стандарт, и если он не выдержан, то доказательства просто нет.
(Если Вы про машинные доказательства, то с ними пока нет проблем, так как они пока ничего заслуживающего внимания в хорошей математике не придумали.)

P.S. Не сразу заметил, что Вы дали ссылку; но, как видите, я правильно догадался, куда Вы клоните.

[mns2012]

"в хорошей математике"?

А что это такое? Довольно нестандартное представление о математике...

[skogar.livejournal.com]

Под математикой я понимаю в первую очередь чистую математику, построенную на выводе теорем из аксиом. Представление довольно стандартное, хотя не для всех. Я помню время, когда математиками нередко считали тех, кто пишет программы.
"Хорошая" - в данном случае содержательная, интересная.

[mns2012]

Что Вы называете содержательной и интересной и, соответсвенно, несодержательной и неинтересной. Можете привести примеры?

[skogar.livejournal.com]

Это же вкусовщина :)
Поскольку мы говорили о машинных доказательствах теорем, то я лишь сказал, что там пока ничего серьёзного не получилось, чтобы считать границу размытой.

[mns2012]

"пока ничего серьёзного не получилось"

Что Вы называете серьёзным в данном случае?

[skogar.livejournal.com]

То, что хоть как-то заметно продвинуло бы математику. На что учёные - специалисты в конкретных областях - обратили бы внимание.

[mns2012]

Загуглить и посмотреть статьи по этой теме не составит труда.

[skogar.livejournal.com]

И что, найдутся результаты? Я перечислил области, где это было бы любопытно мне. Остальное - уже едва ли относится к чистой математике.

[mns2012]

Если хотите поискать, ищите.


Вот интересная статья. Википедия, "Фундаментальная математика"

Разделение на «чистую» и «смешанную» математику получило распространение около 1630 года[1]; в дальнейшем «смешанную математику» стали чаще идентифицировать как прикладную, термин «чистая математика» сохранялся дольше, но со второй половины XX века считается устаревшим, и вытесняется понятием о фундаментальной математике[2]. При этом представления о подразделении на фундаментальную и прикладную часть в процессе развития науки существенно менялись, и некоторые прикладные направления переходили в разряд фундаментальных; таковы, например, уравнения математической физики, вариационное исчисление, в какой-то момент общепризнанные как фундаментальные составляющие анализа, а такой раздел, как теория вероятностей различными школами может считаться как прикладным, так и фундаментальным. Существует мнение, что разделение слишком условно, и математика является единой наукой, лишь имеющей приложения в других научных дисциплинах, а различие связано с местом возникновения изучаемых проблем — в пределах самой математики, или из других областей научного знания[3].

[skogar.livejournal.com]

Это о другом. Мат.физика дошла до состояния, когда там всё полностью математизировалось и она превратилась в область чистой математики. Про вариационное исчисление не знаю, но думаю, что более-менее так же. Теория вероятностей - это по сути направление теории меры. У всего этого, как и у других областей, есть приложения, но сами они существуют как чистая математика, т.е. от аксиом.

[skogar.livejournal.com]

-- Если хотите поискать, ищите.

Ничего ведь нет. Не хочу. Кто считает, что есть, пусть сам и ищет.

[mns2012]

Так удобнее нам обоим.

По частному случаю/пределу согласен с Вами. Убедили. Так корректнее.

[mns2012]

Да нет никакой границы. Всё давно уже размыто. Есть конкретные задачи. Разделение на прикладную и теоретическую очень условно.

[skogar.livejournal.com]

Я Вам её легко проведу, и уже говорил об этом. По одну сторону - когда в теории есть аксиомы, из которых выводятся теоремы. По другую - когда этого нет, хотя речь тоже идёт о чём-то математическом.

[mns2012]

"хотя речь тоже идёт о чём-то математическом."

О чем?

[skogar.livejournal.com]

О чём угодно.

[mns2012]

Конкретный пример?

[skogar.livejournal.com]

Да и сами же легко придумаете, зачем спрашивать. Скажем, алгоритмы, как деньги считать какие-нибудь.

[mns2012]

Это важно для конкретики. Это несколько не то, потому что это не прикладной-теоретический, а это пример применения.

Ну, хорошо, пусть алгоритм подсчета финансов. Давайте разберемся. Оттого, что считаются деньги, алгоритм перестал быть математическим объектом? Мы что, можем менее строго подходить к тому, каким должен быть алгоритм подсчета денег? К тому, какие требования к нему предъявляются? Что, он не должен останавливаться по Тьюрингу и может не быть детерминированным и не быть устойчивым?

От рассмотрения конкретики кмк Ваши рассуждения "плывут". Поэтому я и задал конкретный вопрос.

[skogar.livejournal.com]

Я же Вам говорил, что для разных задач бывают разные стандарты, меня это вполне устраивает, но не надо их мешать в одну кучу до безразличия. Алгоритмы счёта денег - это не доказывание теорем.

[mns2012]

"не надо их мешать в одну кучу до безразличия"

Никто их и не мешает. Я говорю лишь о том, что современное положение дел - давно уже не такое, где можно четко проводить какие-то границы. Это никогда не могло быть сделано, сегодня и подавно.

[skogar.livejournal.com]

Помешать этому может машинное доказательство какого-нибудь факта, интересующего специалистов, чтобы при этом было бы невозможно понять доказательство и перевести его на человеческий язык. Пока этого нет, граница совершенно чёткая.

[mns2012]

Я не имею в виду проблему сингулярности и AI. По-моему, я нигде в данном обсуждении и не говорил об этом. Я говорю лишь о том, что то, что считалось когда-то "чистой математикой" уже таковой не является, но сопрягается с различными аспектами теории алгоритмов, теории вычислений, математической устойчивости и пр. прибамбасов. Это, кстати, и мысль то не моя, а Грегори Чейтина.

[skogar.livejournal.com]

Не знаю, я привёл конкретный принцип, и для него всё в порядке; это традиционный взгляд на вещи. Кто считает иначе, может предложить свои критерии. А кому-то может быть и просто хочется всё размыть, сейчас так модно.