![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mns2012Крах программы Давида Гильберта и последующее появление теорем Гёделя стали поворотным моментом в понимании пределов логики, вычислений и самой реальности.
В начале XX века Давид Гильберт предложил программу по созданию надежного фундамента для всей математики. Он предположил, что математику можно полностью формализовать: превратить в «механистическую систему доказательств», где символы манипулируются согласно строгим правилам (синтаксис) без какой-либо необходимости в их значении (семантика).
Гильберт стремился доказать три свойства этой системы:
Курт Гёдель в 1931 году своими теоремами о неполноте показал, что цели Гильберта взаимоисключающи для любой системы, достаточно мощной для описания базовой арифметики.
Две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
Теоремы No Free Lunch (NFL) из области оптимизации и машинного обучения (Уолперт и Макриди) утверждают, что не существует универсального алгоритма, который работал бы лучше любого другого, если усреднить результаты по всем возможным задачам.
Связь между утверждениями Гёделя, Розена и NFL-теоремами заключается в том, что все они говорят о пределах универсальности:
1. Механистическая мечта Гильберта
В начале XX века Давид Гильберт предложил программу по созданию надежного фундамента для всей математики. Он предположил, что математику можно полностью формализовать: превратить в «механистическую систему доказательств», где символы манипулируются согласно строгим правилам (синтаксис) без какой-либо необходимости в их значении (семантика).
Гильберт стремился доказать три свойства этой системы:
- Полнота: Любое истинное математическое утверждение может быть доказано внутри системы.
- Непротиворечивость: Система никогда не приведет к логическому противоречию (например, к выводу, что 0=1).
- Разрешимость: Существует механическая процедура (алгоритм), позволяющая определить, доказуемо ли любое данное утверждение.
Гильберт полагал, что если свести математику к чистому синтаксису, больше не придется беспокоиться о «неуловимой» природе интуиции или смысла.
— Как было бы хорошо!
2. Теоремы Гёделя о неполноте: cемантический разрыв
Курт Гёдель в 1931 году своими теоремами о неполноте показал, что цели Гильберта взаимоисключающи для любой системы, достаточно мощной для описания базовой арифметики.
Две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
- Первая теорема: В любой непротиворечивой формальной системе F существуют утверждения, которые истинны, но не могут быть доказаны с помощью правил системы F.
- Вторая теорема: Такая система F не может доказать свою собственную непротиворечивость.
Как это связано с семантикой: Гёдель использовал метод под названием «гёделевская нумерация», чтобы формальная система могла строить высказывания о самой себе. Он сконструировал самоотносимое утверждение: «Это утверждение недоказуемо в системе F».
- Если система доказывает его, она противоречива.
- Если система не может его доказать, то утверждение истинно, но система неполна.
Таким образом, после того, как Гёдель представил доказательство своих теорем, стало ясно, что истина (семантика) — более широкая категория, чем доказуемость (синтаксис). Невозможно «механизировать» всю математику, потому что всегда будут существовать истинные высказывания, недоказуемые в рамках данной формальной системы. Для того, чтобы их доказать, систему нужно расширять, но в расширенной "гёделизированными" высказываниями системе будет возможность сформулировать новые недоказумые для неё высказывания и т.д. ad infinitem.
Горячий привет редукционистам!
Теоретический биолог Роберт Розен перенес эту критику на моделирование сложных систем, в частности, живых организмов. Он утверждал, что если существует фундаментальное различие между реальным объектом и формальной моделью, то это тем более верно в отношении изучения жизни. Он выступал против того, чтобы рассматривать жизнь как машину, и говорил, что для изучения сложноорганизованных систем требуется разработка совершенно нового научного аппарата.
Моделирующее отношение Розена состоит из двух частей:
В понимании Розена жизнь включает в себя «замкнутые петли причинности», которые «линейная» механистическая система не может уловить. Наличие остатка является иллюстрацией того, что модель и реальность не одно и то же. Семантика живого не может быть полностью редуцирована к синтаксису модели, какой бы сложной эта модель ни была.
Горячий привет редукционистам!
3. Роберт Розен и «неустранимый семантический остаток»
Теоретический биолог Роберт Розен перенес эту критику на моделирование сложных систем, в частности, живых организмов. Он утверждал, что если существует фундаментальное различие между реальным объектом и формальной моделью, то это тем более верно в отношении изучения жизни. Он выступал против того, чтобы рассматривать жизнь как машину, и говорил, что для изучения сложноорганизованных систем требуется разработка совершенно нового научного аппарата.
Моделирующее отношение Розена состоит из двух частей:
- Кодирование: Отображение природного явления в формальную систему (синтаксис).
- Декодирование: Отображение результатов работы формальной системы обратно на реальный мир (семантика).
Розен утверждал, что в «простых» системах (механизмах) кодирование и декодирование идеально совпадают. Однако в сложных системах (таких, как жизнь) всегда присутствует неустранимый семантический остаток (semantic residue). Этот остаток — та часть поведения и «смысла» системы, которая теряется при попытке представить её в виде синтаксической, алгоритмической модели (машины).
В понимании Розена жизнь включает в себя «замкнутые петли причинности», которые «линейная» механистическая система не может уловить. Наличие остатка является иллюстрацией того, что модель и реальность не одно и то же. Семантика живого не может быть полностью редуцирована к синтаксису модели, какой бы сложной эта модель ни была.
4. Связь с NFL-теоремами
Теоремы No Free Lunch (NFL) из области оптимизации и машинного обучения (Уолперт и Макриди) утверждают, что не существует универсального алгоритма, который работал бы лучше любого другого, если усреднить результаты по всем возможным задачам.
Связь между утверждениями Гёделя, Розена и NFL-теоремами заключается в том, что все они говорят о пределах универсальности:
- Гёдель: Не существует универсальной формальной системы, способной охватить всю математическую истину.
- Розен: Не существует универсальной механистической модели, способной охватить всю биологическую реальность.
- Уолперт и Макриди: Не существует универсального алгоритма, который был бы максимально эффективен для любой возможной задачи.
Все три концепции демонстрируют, что «механика» (алгоритмы/синтаксис) всегда ограничена, борьба с ней может осуществляться только экстенсивно. Если вы получаете преимущество в одной области (специализируя свой синтаксис для решения конкретной задачи), вы неизбежно теряете его в других. Вот поэтому, кстати, не будет никакой ai-сингулярности. «Семантический остаток» у Розена аналогичен «структуре задачи» в NFL — это специфический, неслучайный смысл системы, который механизм не может учесть без предварительного «знания» или специализированной «семантики».
Ещё один привет редукционистам!
5. Законы движения + ограничения. Распознавание дизайна
Законы движения материи и ограничения эпистемологически комплементарны (о, как завернул!). Попросту говоря, они взаимно дополняют друг друга и не имеют смысла одни без других! Первым об этом сказал ещё И. Ньютон. И это, по мнению Ю. Вигнера, явилось самым большим вкладом И. Ньютона в науку.
По этой причине попытки «свести всё к законам природы», за что довольно часто выступают интернет-эксперты, эпистемологически некорректны. Редукционизм всегда локален. Он не может предоставить автоматического решения всех проблем на все случаи жизни для всех времён и народов.
Чем более специфичны и сложны граничные условия, тем больше активной информации привносит инженер в прагматический контекст искусственной системы и тем более интеллектуальным становится её поведение (принцип GIGO: garbage in — garbage out, что заложишь, то и получишь).
Это всё прямиком приложимо к живым организмам. Живое имеет характеристики лингвистических систем. В частности, оно наделено специфическими лингвистическими ограничениями: иерархия управления + символьные граничные условия на движение частиц вещества в системе (Х. Патти).
Жизнь — это артефакт.
Ещё один привет редукционистам!
5. Законы движения + ограничения. Распознавание дизайна
Законы движения материи и ограничения эпистемологически комплементарны (о, как завернул!). Попросту говоря, они взаимно дополняют друг друга и не имеют смысла одни без других! Первым об этом сказал ещё И. Ньютон. И это, по мнению Ю. Вигнера, явилось самым большим вкладом И. Ньютона в науку.
По этой причине попытки «свести всё к законам природы», за что довольно часто выступают интернет-эксперты, эпистемологически некорректны. Редукционизм всегда локален. Он не может предоставить автоматического решения всех проблем на все случаи жизни для всех времён и народов.
Чем более специфичны и сложны граничные условия, тем больше активной информации привносит инженер в прагматический контекст искусственной системы и тем более интеллектуальным становится её поведение (принцип GIGO: garbage in — garbage out, что заложишь, то и получишь).
Это всё прямиком приложимо к живым организмам. Живое имеет характеристики лингвистических систем. В частности, оно наделено специфическими лингвистическими ограничениями: иерархия управления + символьные граничные условия на движение частиц вещества в системе (Х. Патти).
Жизнь — это артефакт.
no subject
Date: 2025-12-31 03:58 pm (UTC)no subject
Date: 2025-12-31 04:04 pm (UTC)no subject
Date: 2025-12-31 04:22 pm (UTC)no subject
Date: 2026-01-01 10:54 am (UTC)Автор показывает, почему компьютер и человеческий разум — принципиально разные вещи. Вычислительная модель не может исчерпать разум. Она может сколь угодно точно или близко подходить к моделированию тех или иных аспектов разумной деятельности, но полноты модель достичь не может. Вычислительная модель может превосходить возможности разума, конечно, но она принципиально отличается от разума. Вот Розен выступал за то, что вся биология такова, а не только разумная деятельность человека.
Для меня это ещё один указатель на то, что за всем этим стоит разум Создателя, в отношении человека в превосходной степени, но также и в отношении любой живой твари.
no subject
Date: 2026-01-01 11:45 am (UTC)no subject
Date: 2026-01-01 12:31 pm (UTC)no subject
Date: 2026-01-01 12:40 pm (UTC)