Теоремы доказываются, теории - нет

[mns2012]

Эпистемологический кусок из статьи в википедии о теоремах. Этого вопроса несколько касался мой недавний разговор с одним оппонентом, сторонником геоцентризма. Поэтому выкладываю.

Theorems in mathematics and theories in science are fundamentally different in their epistemology. A scientific theory cannot be proved; its key attribute is that it is falsifiable, that is, it makes predictions about the natural world that are testable by experiments. Any disagreement between prediction and experiment demonstrates the incorrectness of the scientific theory, or at least limits its accuracy or domain of validity. Mathematical theorems, on the other hand, are purely abstract formal statements: the proof of a theorem cannot involve experiments or other empirical evidence in the same way such evidence is used to support scientific theories.

Comments

[mns2012]

Да, вероятно. У нас разговор шел о том, достаточен ли один экспериментальный результат для опровержения теории.

Я утверждаю, что нет.

"если модель адекватна, то имеем то, что получили"

На самом выходе именно так и получается. Звучит практически тавтологично.

[skogar.livejournal.com]

-- У нас разговор шел о том, достаточен ли один экспериментальный результат для опровержения теории. Я утверждаю, что нет.

Если результаты эксперимента несомненны, то достаточен. Это говорит о том, что что-то где-то не так. Но может быть теорию удастся подлатать.

-- Звучит практически тавтологично.

Я не об эксперименте, а именно о теории. Построили модель чего-то, на ней теоретически что-то получили, причём полученное может быть очень продвинутым. Если модель адекватная, то теория предскажет верный результат. И наоборот, если эксперимент не подтвердит, то теория не годится, т.е. в построенной модели искажено или упущено нечто важное.

[mns2012]

Эпистемологическая нагрузка слова "доказательство" применительно к теореме и к теории совершенно различна. Об этом речь.

Про "подлатать".

Никто не говорит (из адекватных исследователей, имеется в виду), что механика Ньютона опровергнута. Просто СТО — более общая теория, включающая механику Ньютона на диапазоне скоростей, для которого релятивистскими эффектами можно пренебречь.

Доказательство или опровержение теоремы (conjecture), да и всякого утверждения общего характера (т.е. имеющего квантор общности), — это другое дело.

[skogar.livejournal.com]

Вся разница - на уровне того, насколько теория соответствует реальности, а не на уровне самой теории. В математике вопрос о соответствии просто не существует.

Строго говоря, да, механика Ньютона именно опровергнута - она не описывает нашу реальность. Приблизительная теория, где чем-то пренебрегли, и описывает не саму реальность, а некоторое ее приближение, хотя для многих целей этого и достаточно. В математике так уже не получится, разве только если речь и идёт о приближениях.

[mns2012]

=Строго говоря, да, механика Ньютона именно опровергнута=

Нет, конечно. Она не опровергнута, а расширена релятивистскими поправками. Но это терминологические тонкости.

По Вашим стандартам, не существует и не может существовать вообще ни одной теории, "описывающей нашу реальность". Но это не так. Разумеется, существуют более или менее адекватно описывающие реальность модели. От них никто ни абсолютно полного охвата, ни абсолютно точного результата не требует (да и не может вследствие всяких штук типа принципа неопределенности).

[skogar.livejournal.com]

Строго говоря, если теория "верна" с поправками, то она неверна. Математики только так и скажут, хотя может быть и пропустят мимо ушей, если услышат иное, чтобы не ввязываться. Математическая строгость не допускает поправок кроме случаев, когда сами поправки относятся к теории, как я уже говорил. Нестрого говоря - а это уже уровень не математической строгости - так, как говорите Вы. И это действительно разговор о терминах.

У меня нет моих стандартов, я признаю разные стандарты. Для математики стандарт один, для физики - уже другой, поскромнее; потом для других наук. Кстати, я как раз и начал с того, что теории существуют и доказываются, только не так, как в математике.

[mns2012]

Почему поскромнее? Это просто другой случай, не более.

[skogar.livejournal.com]

Физический уровень строгости в их математических рассуждениях нередко не соответствует стандарту математики.

[mns2012]

Это не так.

[skogar.livejournal.com]

Это так. Проверьте - поспрашивайте, если у Вас есть знакомые математики. Я помню случай (что-то весьма специальное и для меня далёкое), когда физики открыли что-то, включающее математику, подтвердили экспериментом, а потом математики чесали репы, как это истолковать на математическом уровне строгости. Уверен, что это был не единичный случай.

[mns2012]

==В математике вопрос о соответствии просто не существует.==

Не совсем так и не всегда. Математика уже давно стала более близкой "к народу" вследствие развития всяких численных методов, исключать которые из математики мы не в праве. К тому же, в математике есть другие разделы типа алгоритмической сложности, вычислимости и прочего, что опять-таки не позволяет отмахнуться от практики: эти разделы существуют и развиваются именно исходя из практических нужд более, чем остальные, наверное.

[skogar.livejournal.com]

Тогда надо учитывать два взгляда: один теоретический, и там всё, как в "обычной" математике, а другой - "потребительский", там где-то видимо можно и попроще смотреть.

[mns2012]

Что Вы называете "обычной" математикой?

[skogar.livejournal.com]

Где из аксиом выводятся теоремы.

[mns2012]

И здесь граница размывается уже давно.

[skogar.livejournal.com]

Она не может размываться: есть стандарт, и если он не выдержан, то доказательства просто нет.
(Если Вы про машинные доказательства, то с ними пока нет проблем, так как они пока ничего заслуживающего внимания в хорошей математике не придумали.)

P.S. Не сразу заметил, что Вы дали ссылку; но, как видите, я правильно догадался, куда Вы клоните.

[mns2012]

Прикладной не значит потребительский. В прикладную математику включены некоторые разделы математики, имеющие более или менее непосредственный выход на практику.

Например, почему отказывать комбинаторике и теории поиска в праве быть рассмотренной разделом математики?! Кто это запрещает?

Деление на прикладную не-прикладную довольно условно. Никакого иного стандарта строгости не существует.

[skogar.livejournal.com]

"Потребительская" - это "близкая к народу" (Ваши слова). "Народу" часто не нужен математический уровень строгости, как когда из аксиом выводятся теоремы.
Прикладная математика может быть на разном уровне строгости в зависимости от конкретных задач.

[mns2012]

У Вас очень странное представление о предмете. Вы занимались математикой сами?

[skogar.livejournal.com]

Это нескромный вопрос, потому что не в моих правилах личные обсуждения. Но хорошо, Вам отвечу: да, занимался. Если мои представления о математике не соответствуют Вашим, то, уверяю Вас, проблема не во мне.

[mns2012]

Отношение механики Ньютона к СТО — как частного случая к общей закономерности. И далеко не факт, что теорию относительности когда-нибудь тоже не придется расширять. Так и живём (с). Опровергнута скорее теория мирового эфира (пока по кр. мере, пока кто-то не обнаружит чего-то, ради чего можно будет вернуться к ней на новом этапе).

[skogar.livejournal.com]

Механика Ньютона не является частным случаем СТО: первая - приближение второй.
А ТО видимо не является чем-то окончательным, как Вы и говорите.

[mns2012]

См. здесь: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D4%E8%E7%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E5%20%EE%F1%ED%EE%E2%FB%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E8/03.htm

[skogar.livejournal.com]

Посмотрел, и что там? Про предельный случай? Скорость скорость света и постоянную Планка можно устремить к бесконечности и к нулю соответственно, но это нисколько не физические предельные переходы. В реальном мире это конкретные величины, и просто так их менять - это уходить в абстракции.

[mns2012]

Уравнения релятивистской механики, в пределе (для скоростей малых, по сравнению со скоростью света), переходят в уравнения классической механики. Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую механику как её частный случай и сохранила своё прежнее значение для описания движений, происходящих со скоростями значительно меньшими, чем скорость света.

Ваше утверждение: "Механика Ньютона не является частным случаем СТО".