Всё чаще мне попадаются ролики про математику

[mns2012]

"Математику изобретают или открывают?"

По-моему, это ложная дихотомия. Кое-что фундаментальное открывают (identity, non-contradiction, excluded middle и т.д.), остальное изобретают. В природе нет никаких линейных алгебр, тензорных исчислений, теорий комплексных переменных. Нет никаких окружностей или квадратов, и даже чисел. Это ментальные конструкции, средства, помогающие описывать и предсказывать поведение мира.

Главный вопрос всё-таки не в этом. Самое главное, на мой взгляд, состоит в том, что окружающий мир, во-первых, объясним, во-вторых, то, что он объясним, с позиций натурализма необъяснимо. Всякие трюизмы типа: мы наблюдаем то, что наблюдаем, потому что мы есть, в противном случае никто бы ничего не наблюдал, -- на объяснение, по-моему, не тянут.

Вопрос в том, почему математика работает.

Объяснимость мира адекватно объясняется лишь в перспективе теизма (супернатурализма, дизайна, если угодно): человек как образ Божий имеет разум и поэтому может познавать разумно созданный мир.

Comments

[wkapustin.livejournal.com]

На несомненном собственном опыте.

[mns2012]

Понятно.

[wkapustin.livejournal.com]

А чем Вас это не устраивает?
И на что опирается Ваше противоположное мнение?

[mns2012]

==А чем Вас это не устраивает?

Всё абсолютно нормально.

==И на что опирается Ваше противоположное мнение?

Выше я уже попытался изложить и обосновать свои взгляды. Наверное, это у меня плохо получилось.

[wkapustin.livejournal.com]

Вижу Вашу фразу об этом, на которую я не отреагировал: Говорить, что математика открывает что-то платоническое — все равно, что говорить, что некий осмысленный текст мог быть написан только так, и никак иначе, скажем, что смысл "Войны и мира" мог бы быть передан только такой, а не иной последовательностью букв.
Речь ведь идёт о содержании, а не о форме, в которую это содержание облечено.

[mns2012]

Хорошо. Возьмём конкретно. Что открывает о мире линейная алгебра? Чего бы мы о мире не знали без неё?

[wkapustin.livejournal.com]

Вы опять переводите разговор на знания о мире. Я готов обсудить с Вами и Ваш второй вопрос, хотя по нему, судя по сказанному Вами, у нас не должно быть серьёзных разногласий. Но пришёл я к Вам в связи с Вашим первым вопросом "Математику изобретают или открывают?" и стараюсь держать внимание именно на нём.

[mns2012]

Математика включает конкретные вещи. Невозможно рассуждать о чем-то вообще. Вы утверждаете, что математику открывают. Я предлагаю разобраться на конкретном примере: что именно открыли о мире люди, которые разрабатывали аппарат линейной алгебры? Что именно открывают? Векторы, матрицы, системы линейных уравнений?

На мой взгляд, я ещё раз это повторю, это всего-навсего методы моделирования. При совпадении поведения матмодели с реальностью все рады, особенно если матмодель компактная, мощная по степени абстракции. С ее помощью мы удобнее можем предсказывать поведение окружающего нас мира. В основе, конечно, лежит разумно созданный мир, который обладает определенными свойствами: возможность обратной разработки, идентичность, исключенные третье, возможность строить логические заключения о мире и пр. Но сами матмодели — это лишь модели. Не следует сильно обольщаться на их счёт. При изучении электричества сильно помогла теория комплексных переменных, но без нее все равно бы продолжилось изучение электромагнетизма, только по другому пути.

[mns2012]

Без осознания того, что математика -- это язык, мы не найдём общих точек по данному вопросу, как и без осознания того, что как только мы начинаем говорить о существовании чего-либо, мы касаемся философии. На этом специализированном языке можно выражать одно и то же по-разному, как и на естественных языках.

Вопрос о существовании или не существовании чего-либо относится к философской рамке, без которой невозможно продвинуться в нашем обсуждении (которое ещё и не начиналось, потому что Вы не предоставили никаких соображений в пользу Вашего мнения по существу, лишь ссылка на многочисленных математиков, которые якобы уверены в том, что они что-то открывают). Пока, с Вашей стороны, это не обсуждение, а лишь декларация. Я предоставил некоторые соображения на этот счёт со своей стороны, причём подкрепил их мнением конкретного специалиста.

Моя философская рамка -- традиционное святоотеческое Православие (по кр. мере, я прилагаю сознательные усилия, чтобы остаться в ней, и если и выпадаю из неё, то по недомыслию и несознательно). Согласно моей рамке, не существует никакого платоновского мира идей. Существует Бог и Его предвечный неизменный замысел о мире. Математика -- продукт разумной деятельности человека. Основные базовые вещи, касающиеся устройства мира, она действительно отражает. Но в основном, в том, что касается конретных методов и математического аппарата -- это искусственные вещи, более или менее полезные абстракции. На мой взгляд, конечно...

[wkapustin.livejournal.com]

Вы затронули вопрос, который, с моей точки зрения, является одним из наиболее значимых в философии математики. И мой интерес в ЖЖ в немалой степени сосредоточен именно на таких темах. Вы предложили свой взгляд - я пришёл возразить.

Я упоминал теорему Пифагора, вместо неё можно взять практически любую другую. Если хотите линейную алгебру - пожалуйста, пусть будет теорема о жордановой модели для квадратных матриц. Если бы результат не открывали, а придумывали, то это означало бы, что его можно было бы придумать и как-то иначе. Но у людей нет власти изменить то, о чём говорит теорема, поэтому её содержание можно только открыть (а выразить её смысл можно по-разному). Это реальный аргумент, я его приводил выше в виде вопроса (https://mns2012.livejournal.com/1030584.html?thread=4222904#t4222904), но Вы его проигнорировали. Возражений против него я не встречал и уверен, что их просто нет. Можете попробовать возразить и Вы, если не согласны. Но заметьте, что речь идёт об абстрактной теореме, никакой связи с миром здесь не предполагается.

Я не спорю с тем, что на математику можно смотреть как на язык и как на что-то ещё. Но это узкий взгляд, суть математики не в этом.

У Платона мир идей был специфическим - согласен, такого не существует. Но когда Вы говорите о замысле Бога, Вы тем самым вводите мир идей. И эти идеи могут быть не только о тварном мире.

[mns2012]

"теорема о жордановой модели для квадратных матриц."

"Если бы результат не открывали, а придумывали, то это означало бы, что его можно было бы придумать и как-то иначе. Но у людей нет власти изменить то, о чём говорит теорема,"

Прежде чем обсуждать что-либо, необходимо договариваться о смысле слов. Именно поэтому Ваша уверенность в том, что исходный вопрос не касается философии, мне показалась довольно странной.

Слово "открывать" связано со словом "существует": открыть можно лишь то, что "существует".

Ещё раз попытаюсь сформулировать. Моя аргументация по необходимости завязана на философию точно так же, как и Ваша, с той разницей, что философия у нас, по-видимому, различается. Признание этого простого факта зависимости от философии необходимо до обсуждения, в особенности данного вопроса.

Вот как я смотрю на это. Попытаюсь сформулировать ещё раз.

Теорема та или иная имеет силу (из А вытекает Б и так далее, что, как Вы говорите, "у людей нет власти изменить") в отношении абстракций. И преспокойно нарушается в отношении объектов и процессов материального мира, в котором нет ни одного идеального объекта (ни одного идеального шара или ни одной идеальной плоскости, например). И стоит только ужесточить требования к матмодели, как теорема уже перестанет быть применимой.

Вот есть два предмета, банан и апельсин. На вопрос: разные они или одинаковые, однозначного ответа нет. Ответ зависит от абстрактной постановки задачи. С точки зрения биологической классификации, они различны. А с точки зрения органической химии, состав у них один и тот же (тогда как у спелого и у гнилого апельсина химический состав будет сильно отличаться). От ответа на вопрос, одинаковые ли это предметы или нет, зависит, будет ли применима ли для них математическая операция сложения. Поэтому и применимость того или иного математического результата к объектам материального мира будет функцией математической модели.

Абстракция, идея существует в сознании человека, потому что человек наделён разумом, а разум есть, в том числе, способность абстрагирования. Однако мира идей, ментальной реальности, к которой бы некто в той или иной форме "подключался" и выцеплял бы оттуда идеи, "открывал" бы существующие там теоремы, не существует. Это творческая работа сознания человека, созданного по образу Бога.

Идея может воплощаться в материальном мире в дизайне (как в процессе, так и в конечном артефакте). В материальном мире есть лишь феномены, которые могут более или менее соответствовать этим абстракциям. На некотором базовом уровне (например, сам факт того, что мы можем абстрактно рассуждать о реальном мире), как я уже говорил не раз, математика действительно имеет основания в реальности, то есть отражает её, отражает свойства мира.

Однако если бы не было жордановых матриц, был бы создан другой аппарат, не на основе матриц, а на основе каких-нибудь групп или чего-то аналогичного. Тогда и теоремы этой бы не существовало, а была бы другая. Почитайте статью, которую я упоминал. Математика, в основном, -- это методы упорядочения знаний о мире (в виде абстракций, полезных в той или иной области). В какой-то базовой части есть отражение реальности, конечно.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Именно поэтому Ваша уверенность в том, что исходный вопрос не касается философии, мне показалась довольно странной.

Вопрос однозначно связан с философией, однако на него можно смотреть и без философии, исходя из опыта. Как человек, профессионально занимающийся (чистой) математикой, я Вам однозначно заявляю, что мысль о том, будто я придумываю свои результаты, а не открываю, представляется мне совершенно дикой, и то же самое Вам скажут и другие мои коллеги. Не верить самому себе в таких вещах и убеждать себя, будто всё не так, а мне только так кажется - это жуткое насилие над здравым смыслом. Однако это и незачем; или же Вы считаете, что это всё же нужно?

-- Абстракция, идея существует в сознании человека, потому что человек наделён разумом, а разум есть, в том числе, способность абстрагирования.

Согласен.

-- Однако мира идей, ментальной реальности, к которой бы некто в той или иной форме "подключался" и выцеплял бы оттуда идеи, "открывал" бы существующие там теоремы, не существует.

Обоснуйте. Это действительно творческая работа сознания человека, созданного по образу Бога, но творчество здесь не в прямом смысле слова, когда человек бы творил сам. Это именно познание - познание "математических логосов", если угодно.

[mns2012]

однако на него можно смотреть и без философии, исходя из опыта.

Вот здесь у Вас и зарыта ошибка. Вы к своему опыту уже подходите с определённых философских позиций.

"Обоснуйте.
Это именно познание - познание "математических логосов", если угодно."

Обосновывать я уже пытаюсь на протяжении этой ветки :)))

Познание божественных логосов не имеет отношения к математике. Математика представляет собой лишь способ рационального познания тварного мира (и в этом смысле, да, некоторые базовые вещи математика способна отразить). От этого познания мы можем восходить к познанию о Боге и о Его промысле в отношении мира. Однако, на мой взгляд, никаких специализированных математических логосов не существует. Логосы твари есть воления Божии о мире.

"Ибо логосы всех вещей пребывают в Слове Божием и вмещаются в Нем, но ни одно из сущих не вмещает в себя Его". Capita Theologia et Oeconomiae, II. 10, PG 90 1129 А.

По учению прп Максима, каждый предмет или явление в тварном мире имеет свой логос — некую идею или принцип, заложенный Богом в момент творения. Реализацию этой идеи можно изучать (в т.ч. с помощью математики), однако познание самих логосов, насколько это вообще возможно для человека, является созерцанием, смысл которого определяется в святоотеческой аскетике (восхождение ума к Богу путём очищения от страстей), а не в учебниках математики. Такой взгляд был бы, по-моему, наивным.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Вот здесь у Вас и зарыта ошибка. Вы к своему опыту уже подходите с определённых философских позиций.

Я подхожу к своему опыту как к только опыту, как к первичному источнику информации.

-- Обосновывать я уже пытаюсь на протяжении этой ветки :)))

Вы обосновываете нечто своё. Я ведь во многом с Вами согласен из того, что Вы говорите. Но единственный существенный момент - это тот, на котором я заостряю Ваше внимание, тогда как Вы от него уходите в связи с миром.

Продолжу в ответе на Ваш новый комментарий.

[mns2012]

==Я подхожу к своему опыту как к только опыту, как к первичному источнику информации.==

Это ошибка. Первична философская рамка, а не сумма сведений. При определенном желании со стороны человека никакая сумма сведений не способна пошатнуть его философскую позицию.

==от него уходите в связи с миром.==

Это и есть выражение различия наших философских позиций. Это не я ухожу, а Вы не замечаете, что вопрос о существовании связан с вопросом о свойствах этого мира. Никакого мира идей не существует.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Никакого мира идей не существует.

Всё, что Вы здесь сказали по этому поводу, нисколько не подтверждает этот тезис. И здесь Ваша ошибка, а не моя. Повторю, что, хотя это и называют платонизмом, имеется в виду только "мир идей", а отличия от учения самого Платона существенны.
Кстати, "математические логосы" играют роль (не знаю, как лучше сказать) и логосов физического мира, ибо физика насквозь пронизана математикой.

[mns2012]

==И здесь Ваша ошибка, а не моя.==

Если бы этот комментарий был написан ранее, можно было бы избежать произнесения многих слов. У нас просто разные философские позиции и всё. На этом можно было остановиться.

Никакого мира идей не существует.

Речь о том, что касается аксиом о существовании. Я и не собираюсь как-то рационально подтверждать этот тезис. Я лишь ссылаюсь на Священное Предание Церкви, выраженное в святоотеческой письменности. Я обосновываю этот тезис опытом богопознания святых отцов Православной Церкви.

Думаю, что можно дальше дискуссию не продолжать, поскольку мы выявили корневое противоречие, из которого проистекает разница в наших позициях.

[wkapustin.livejournal.com]

Продолжать видимо нет смысла, так как Ваши ответы говорят о том, что Вы искажённо трактуете мою позицию, и неудачно "ссылаетесь на Священное Предание Церкви, выраженное в святоотеческой письменности".

[mns2012]

Кстати, я недооценил опасность такого взгляда на математику (в пределе обожествление математики как утверждение самостоятельной онтологической реальности математических объектов). В таком взгляде (лишь внешне наивном) сокрыта опасность варлаамизма. Как отражение варлаамизма, внутренне присущего римо-католичеству, можно рассматривать догматизацию Ватиканом теории Большого взрыва. Но это заметка на полях, что называется. Непосредственно это не связано с данным обсуждением, хотя и важно.

[wkapustin.livejournal.com]

Никакого "обожествления математики" я не подразумеваю.

-- познание самих логосов, насколько это вообще возможно для человека, является созерцанием, смысл которого определяется в святоотеческой аскетике (восхождение ума к Богу путём очищения от страстей), а не в учебниках математики.

Это главный смысл, но не повод отрицать и другие смыслы, как это делаете Вы. Математика сама по себе до Бога не доведёт и не заменит очищения от страстей, однако при правильном отношении принесёт пользу.

[mns2012]

Никакого "обожествления математики" я не подразумеваю.

Вы нет, конечно. Однако при желании Ваша позиция может быть логически доведена до этого.

"однако при правильном отношении принесёт пользу."

Да, однако правильным это отношение может быть только в свете правильной веры и правильной аскетики (ортодоксия и ортопраксия). См. свт. Григорий Фесаллоникийский (Палама) "Триады в защиту священнобезмолвствующих".

[wkapustin.livejournal.com]

-- Однако при желании Ваша позиция может быть логически доведена до этого.

Логически из самой моей позиции не доведёте, придётся что-то дорисовывать.

-- Да, однако правильным это отношение может быть только в свете правильной веры и правильной аскетики

Без проблем. То, что говорю я, этому нисколько не противоречит.

[mns2012]

==Логически из самой моей позиции не доведёте, придётся что-то дорисовывать.==

Пожалуйста.

Утверждение о самостоятельном существовании мира идей помимо Бога вводит нечто превечно сосуществующее с Богом. Это и есть имплицитно вводимое многобожие. В учении прп. Максима (и ни у кого-либо ещё из свв. отцов) такого, разумеется, нет.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Утверждение о самостоятельном существовании мира идей помимо Бога

Вы не мне возражаете: я ни разу не говорил насчёт "помимо", которое Вы дорисовали.

[mns2012]

Таким образом, в Боге. Это уже лучше. То есть Вы согласны, что не существует никакого мира идей. Замечательно. Далее. Логосы твари (см. ниже), существующие в Боге, называть "миром" некорректно. Тем более некорректно говорить о каких-то специфических математических логосах, поскольку математику не отнесёшь ни в категорию логосов естества (так как никакого естества математика не имеет, как мы уже договорились), ни тем более в категорию логосов промыслов и суда.

Кастальский и Бороздин. Догматическое богословие.

"Логосы отдельных вещей содержатся в более общих логосах, как виды – в роде. Все вместе они содержатся в ипостасном Логосе, то есть во Второй Ипостаси Святой Троицы, Который есть первоначало и конечная цель всего тварного. В Логосе все бытие причастно Богу. Маленькие «логосы» – не что иное, как энергии ипостасного Логоса, на которые творчески как бы расчленяется единый Божественный Логос и посредством которых все в Нем объединяется, как соединяются радиусы в центре круга.

Ипостасный Логос определяет законы, по которым живет тварный мир, именно через Него мир получает начало своего бытия, Им осуществляется деятельность Божественного Промысла, Он как Судия определяет конечные судьбы твари. Соответственно, и Его энергии (логосы) делятся на три вида: логосы естества (т.е. законы природы), логосы промысла и логосы суда. Эти логосы охватывают собой все бытие твари на всем протяжении его существования. В логосах естества как бы заключен весь чувственный и духовный мир [кстати, нет никакого мира математических идей — mns2012]; в логосах промысла и суда – вся жизнь мироздания и все цели его движений, сводимые к одной высшей цели – обожению. В частности, в логосах промысла и суда предначертано и Воплощение Сына Божия и совершенное Им Искупление мира, то есть центр Промысла – осуществление идеи обожения человека. Логосами промысла и суда всецело определяется и прохождение каждым человеком пути спасения, то есть усвоение им плодов Искупления. В этих логосах, наконец, предначертана и будущая судьба мира."