Всё чаще мне попадаются ролики про математику

[mns2012]

"Математику изобретают или открывают?"

По-моему, это ложная дихотомия. Кое-что фундаментальное открывают (identity, non-contradiction, excluded middle и т.д.), остальное изобретают. В природе нет никаких линейных алгебр, тензорных исчислений, теорий комплексных переменных. Нет никаких окружностей или квадратов, и даже чисел. Это ментальные конструкции, средства, помогающие описывать и предсказывать поведение мира.

Главный вопрос всё-таки не в этом. Самое главное, на мой взгляд, состоит в том, что окружающий мир, во-первых, объясним, во-вторых, то, что он объясним, с позиций натурализма необъяснимо. Всякие трюизмы типа: мы наблюдаем то, что наблюдаем, потому что мы есть, в противном случае никто бы ничего не наблюдал, -- на объяснение, по-моему, не тянут.

Вопрос в том, почему математика работает.

Объяснимость мира адекватно объясняется лишь в перспективе теизма (супернатурализма, дизайна, если угодно): человек как образ Божий имеет разум и поэтому может познавать разумно созданный мир.

Comments

[mns2012]

В Вашем комментарии, как мне кажется, есть внутреннее противоречие. С одной стороны, Вы предлагаете опираться на мнение большинства математиков, с другой стороны, Вы признаёте, что это, в конечном счёте, философский вопрос. Они-то сами не являются tabula rasa, они "нагружены" философией, интуициями и пр. Мировоззренческие вопросы решать большинством голосов не следует.

Без философии абсолютно невозможно обойтись, как только мы произносим слово "существует". Это вопрос онтологии. Любой ответ на него, по определению, есть ответ философский.

[wkapustin.livejournal.com]

Есть отсыл к реальной деятельности специалистов. Они хорошо понимают, что открывают свои результаты, а не придумывают.
Философский вопрос не в этом, а уже дальше, когда интересуемся, где же находится то, что мы открываем.

[mns2012]

Вопрос существования - что существует, чего не существует - проблема онтологии, один из основных философских вопросов.

Подозреваю, что к "реальной деятельности" я тоже имею какое-то отношение (в прошлом даже, о ужас, в математике 😄).

[wkapustin.livejournal.com]

Ваша первая фраза вполне согласуется с моей второй из последнего моего комментария.

Что касается Вашей второй фразы, у Вас есть возражения к моей первой? Есть ли основания полагать, что математические результаты не открываются, а придумываются? Скажем, что теорема Пифагора (в рамках известной аксиоматики, изменять которую не позволяется), не будь она открыта в таком виде, как мы её знаем, могла бы быть "придумана" с иным смыслом?

[mns2012]

Есть какие-то базовые вещи в математике, которые действительно отражают свойства мира, на мой взгляд. Но, в основном, математика — это язык, как русский или английский. По-моему, Н.Чомский выступал с идеей о том, что грамматическая структура языка — врождённая вещь. Вот, может быть, и с математикой что-то похожее. Одна и та же идея может быть выражена по-разному на том или ином языке (при условии если язык достаточно развит). Я не могу сейчас найти, но мне попадалась когда-то давно статья профессора математики МГУ в журнале "Нескучный сад". Он говорил как раз об этом. Я даже в этом журнале цитировал эту публикацию. Давно, лет не меньше 5. Что история математики могла сложиться по-другому, были бы созданы совершенно другие модели. Но в смысле чего-то базового типа того, что A=A, А != ¬A, оно безусловно отражает реальность (в предположении, конечно, что реальность существует независимо от сознания познающего её человека, что тоже философия).

[mns2012]

Нашёл. Вот эта статья: https://www.nsad.ru/articles/veroyatnost-chuda

Вот ключевая мысль:

Наша научная модель -- не закон, установленный кем-то, Богом или человеком, это просто то, что нам удалось таким образом упорядочить. С точки зрения веры законы природы установил Бог, создавая этот мир. Но очень мало шансов, что мы полностью поймем Его закон -- просто потому, что наш разум слишком слаб для того, чтобы мыслить категориями, в которых Бог установил эти самые законы. Поэтому лучше говорить не о законах природы, а об условных моделях.

[wkapustin.livejournal.com]

На математику можно смотреть как на язык, но это очень узкий и очень специализированный взгляд.

Мы же сейчас обсуждаем не свойства мира и не модели, а саму математику в связи с Вашим первым вопросом из стартового текста. Вы же сказали о другом.

[mns2012]

Именно об этом. Наука (математика, в том числе), в основном, моделирует реальность. Поэтому, как я думаю, изобретают ли математику или открывают, — неточная постановка вопроса: в основном, изобретают, конечно. Вопрос в изначальном тексте состоит в том, почему математика работает (была даже знаменитая статья "О поразительной эффективности математики" Вигнера). Говорить, что математика открывает что-то платоническое — все равно, что говорить, что некий осмысленный текст мог быть написан только так, и никак иначе, скажем, что смысл "Войны и мира" мог бы быть передан только такой, а не иной последовательностью букв.

Есть интересная мысль прп. Силуана Афонского. Он говорил, что если предположить, что Священное Писание вдруг исчезло, то Бог вдохновил бы других людей, которые написали бы то же самое по духу, по смыслу. Но, как я понимаю эту мысль, необязательно идентично, хотя в Священном Писании есть множество уровней текста (буквальный, экзегетический, герменевтический).

[wkapustin.livejournal.com]

-- Наука (математика, в том числе), в основном, моделирует реальность.

Обсуждаемый вопрос относится к другому взгляду на математику - к ней самой по себе, безотносительно к моделям реальности; или же, если хотите не отрываться от реальности, то до них, логически предшествуя им.

-- Вопрос в изначальном тексте состоит в том, почему математика работает

Есть и такой, но начинается у Вас с вопроса "Математику изобретают или открывают?".

Поэтому, как я думаю, изобретают ли математику или открывают, — неточная постановка вопроса: в основном, изобретают, конечно.

Боюсь, что Вы это не поняли. И в основном не изобретают, а открывают.

[mns2012]

==И в основном не изобретают, а открывают.==

На чем основана Ваша уверенность в этом (помимо туманной ссылки на мнение большинства математиков)?

[wkapustin.livejournal.com]

На несомненном собственном опыте.

[mns2012]

Понятно.

[wkapustin.livejournal.com]

А чем Вас это не устраивает?
И на что опирается Ваше противоположное мнение?

[mns2012]

==А чем Вас это не устраивает?

Всё абсолютно нормально.

==И на что опирается Ваше противоположное мнение?

Выше я уже попытался изложить и обосновать свои взгляды. Наверное, это у меня плохо получилось.

[wkapustin.livejournal.com]

Вижу Вашу фразу об этом, на которую я не отреагировал: Говорить, что математика открывает что-то платоническое — все равно, что говорить, что некий осмысленный текст мог быть написан только так, и никак иначе, скажем, что смысл "Войны и мира" мог бы быть передан только такой, а не иной последовательностью букв.
Речь ведь идёт о содержании, а не о форме, в которую это содержание облечено.

[mns2012]

Хорошо. Возьмём конкретно. Что открывает о мире линейная алгебра? Чего бы мы о мире не знали без неё?

[wkapustin.livejournal.com]

Вы опять переводите разговор на знания о мире. Я готов обсудить с Вами и Ваш второй вопрос, хотя по нему, судя по сказанному Вами, у нас не должно быть серьёзных разногласий. Но пришёл я к Вам в связи с Вашим первым вопросом "Математику изобретают или открывают?" и стараюсь держать внимание именно на нём.

[mns2012]

Математика включает конкретные вещи. Невозможно рассуждать о чем-то вообще. Вы утверждаете, что математику открывают. Я предлагаю разобраться на конкретном примере: что именно открыли о мире люди, которые разрабатывали аппарат линейной алгебры? Что именно открывают? Векторы, матрицы, системы линейных уравнений?

На мой взгляд, я ещё раз это повторю, это всего-навсего методы моделирования. При совпадении поведения матмодели с реальностью все рады, особенно если матмодель компактная, мощная по степени абстракции. С ее помощью мы удобнее можем предсказывать поведение окружающего нас мира. В основе, конечно, лежит разумно созданный мир, который обладает определенными свойствами: возможность обратной разработки, идентичность, исключенные третье, возможность строить логические заключения о мире и пр. Но сами матмодели — это лишь модели. Не следует сильно обольщаться на их счёт. При изучении электричества сильно помогла теория комплексных переменных, но без нее все равно бы продолжилось изучение электромагнетизма, только по другому пути.

[mns2012]

Без осознания того, что математика -- это язык, мы не найдём общих точек по данному вопросу, как и без осознания того, что как только мы начинаем говорить о существовании чего-либо, мы касаемся философии. На этом специализированном языке можно выражать одно и то же по-разному, как и на естественных языках.

Вопрос о существовании или не существовании чего-либо относится к философской рамке, без которой невозможно продвинуться в нашем обсуждении (которое ещё и не начиналось, потому что Вы не предоставили никаких соображений в пользу Вашего мнения по существу, лишь ссылка на многочисленных математиков, которые якобы уверены в том, что они что-то открывают). Пока, с Вашей стороны, это не обсуждение, а лишь декларация. Я предоставил некоторые соображения на этот счёт со своей стороны, причём подкрепил их мнением конкретного специалиста.

Моя философская рамка -- традиционное святоотеческое Православие (по кр. мере, я прилагаю сознательные усилия, чтобы остаться в ней, и если и выпадаю из неё, то по недомыслию и несознательно). Согласно моей рамке, не существует никакого платоновского мира идей. Существует Бог и Его предвечный неизменный замысел о мире. Математика -- продукт разумной деятельности человека. Основные базовые вещи, касающиеся устройства мира, она действительно отражает. Но в основном, в том, что касается конретных методов и математического аппарата -- это искусственные вещи, более или менее полезные абстракции. На мой взгляд, конечно...

[wkapustin.livejournal.com]

Вы затронули вопрос, который, с моей точки зрения, является одним из наиболее значимых в философии математики. И мой интерес в ЖЖ в немалой степени сосредоточен именно на таких темах. Вы предложили свой взгляд - я пришёл возразить.

Я упоминал теорему Пифагора, вместо неё можно взять практически любую другую. Если хотите линейную алгебру - пожалуйста, пусть будет теорема о жордановой модели для квадратных матриц. Если бы результат не открывали, а придумывали, то это означало бы, что его можно было бы придумать и как-то иначе. Но у людей нет власти изменить то, о чём говорит теорема, поэтому её содержание можно только открыть (а выразить её смысл можно по-разному). Это реальный аргумент, я его приводил выше в виде вопроса (https://mns2012.livejournal.com/1030584.html?thread=4222904#t4222904), но Вы его проигнорировали. Возражений против него я не встречал и уверен, что их просто нет. Можете попробовать возразить и Вы, если не согласны. Но заметьте, что речь идёт об абстрактной теореме, никакой связи с миром здесь не предполагается.

Я не спорю с тем, что на математику можно смотреть как на язык и как на что-то ещё. Но это узкий взгляд, суть математики не в этом.

У Платона мир идей был специфическим - согласен, такого не существует. Но когда Вы говорите о замысле Бога, Вы тем самым вводите мир идей. И эти идеи могут быть не только о тварном мире.

[mns2012]

"теорема о жордановой модели для квадратных матриц."

"Если бы результат не открывали, а придумывали, то это означало бы, что его можно было бы придумать и как-то иначе. Но у людей нет власти изменить то, о чём говорит теорема,"

Прежде чем обсуждать что-либо, необходимо договариваться о смысле слов. Именно поэтому Ваша уверенность в том, что исходный вопрос не касается философии, мне показалась довольно странной.

Слово "открывать" связано со словом "существует": открыть можно лишь то, что "существует".

Ещё раз попытаюсь сформулировать. Моя аргументация по необходимости завязана на философию точно так же, как и Ваша, с той разницей, что философия у нас, по-видимому, различается. Признание этого простого факта зависимости от философии необходимо до обсуждения, в особенности данного вопроса.

Вот как я смотрю на это. Попытаюсь сформулировать ещё раз.

Теорема та или иная имеет силу (из А вытекает Б и так далее, что, как Вы говорите, "у людей нет власти изменить") в отношении абстракций. И преспокойно нарушается в отношении объектов и процессов материального мира, в котором нет ни одного идеального объекта (ни одного идеального шара или ни одной идеальной плоскости, например). И стоит только ужесточить требования к матмодели, как теорема уже перестанет быть применимой.

Вот есть два предмета, банан и апельсин. На вопрос: разные они или одинаковые, однозначного ответа нет. Ответ зависит от абстрактной постановки задачи. С точки зрения биологической классификации, они различны. А с точки зрения органической химии, состав у них один и тот же (тогда как у спелого и у гнилого апельсина химический состав будет сильно отличаться). От ответа на вопрос, одинаковые ли это предметы или нет, зависит, будет ли применима ли для них математическая операция сложения. Поэтому и применимость того или иного математического результата к объектам материального мира будет функцией математической модели.

Абстракция, идея существует в сознании человека, потому что человек наделён разумом, а разум есть, в том числе, способность абстрагирования. Однако мира идей, ментальной реальности, к которой бы некто в той или иной форме "подключался" и выцеплял бы оттуда идеи, "открывал" бы существующие там теоремы, не существует. Это творческая работа сознания человека, созданного по образу Бога.

Идея может воплощаться в материальном мире в дизайне (как в процессе, так и в конечном артефакте). В материальном мире есть лишь феномены, которые могут более или менее соответствовать этим абстракциям. На некотором базовом уровне (например, сам факт того, что мы можем абстрактно рассуждать о реальном мире), как я уже говорил не раз, математика действительно имеет основания в реальности, то есть отражает её, отражает свойства мира.

Однако если бы не было жордановых матриц, был бы создан другой аппарат, не на основе матриц, а на основе каких-нибудь групп или чего-то аналогичного. Тогда и теоремы этой бы не существовало, а была бы другая. Почитайте статью, которую я упоминал. Математика, в основном, -- это методы упорядочения знаний о мире (в виде абстракций, полезных в той или иной области). В какой-то базовой части есть отражение реальности, конечно.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Именно поэтому Ваша уверенность в том, что исходный вопрос не касается философии, мне показалась довольно странной.

Вопрос однозначно связан с философией, однако на него можно смотреть и без философии, исходя из опыта. Как человек, профессионально занимающийся (чистой) математикой, я Вам однозначно заявляю, что мысль о том, будто я придумываю свои результаты, а не открываю, представляется мне совершенно дикой, и то же самое Вам скажут и другие мои коллеги. Не верить самому себе в таких вещах и убеждать себя, будто всё не так, а мне только так кажется - это жуткое насилие над здравым смыслом. Однако это и незачем; или же Вы считаете, что это всё же нужно?

-- Абстракция, идея существует в сознании человека, потому что человек наделён разумом, а разум есть, в том числе, способность абстрагирования.

Согласен.

-- Однако мира идей, ментальной реальности, к которой бы некто в той или иной форме "подключался" и выцеплял бы оттуда идеи, "открывал" бы существующие там теоремы, не существует.

Обоснуйте. Это действительно творческая работа сознания человека, созданного по образу Бога, но творчество здесь не в прямом смысле слова, когда человек бы творил сам. Это именно познание - познание "математических логосов", если угодно.

[mns2012]

однако на него можно смотреть и без философии, исходя из опыта.

Вот здесь у Вас и зарыта ошибка. Вы к своему опыту уже подходите с определённых философских позиций.

"Обоснуйте.
Это именно познание - познание "математических логосов", если угодно."

Обосновывать я уже пытаюсь на протяжении этой ветки :)))

Познание божественных логосов не имеет отношения к математике. Математика представляет собой лишь способ рационального познания тварного мира (и в этом смысле, да, некоторые базовые вещи математика способна отразить). От этого познания мы можем восходить к познанию о Боге и о Его промысле в отношении мира. Однако, на мой взгляд, никаких специализированных математических логосов не существует. Логосы твари есть воления Божии о мире.

"Ибо логосы всех вещей пребывают в Слове Божием и вмещаются в Нем, но ни одно из сущих не вмещает в себя Его". Capita Theologia et Oeconomiae, II. 10, PG 90 1129 А.

По учению прп Максима, каждый предмет или явление в тварном мире имеет свой логос — некую идею или принцип, заложенный Богом в момент творения. Реализацию этой идеи можно изучать (в т.ч. с помощью математики), однако познание самих логосов, насколько это вообще возможно для человека, является созерцанием, смысл которого определяется в святоотеческой аскетике (восхождение ума к Богу путём очищения от страстей), а не в учебниках математики. Такой взгляд был бы, по-моему, наивным.

[wkapustin.livejournal.com]

-- Вот здесь у Вас и зарыта ошибка. Вы к своему опыту уже подходите с определённых философских позиций.

Я подхожу к своему опыту как к только опыту, как к первичному источнику информации.

-- Обосновывать я уже пытаюсь на протяжении этой ветки :)))

Вы обосновываете нечто своё. Я ведь во многом с Вами согласен из того, что Вы говорите. Но единственный существенный момент - это тот, на котором я заостряю Ваше внимание, тогда как Вы от него уходите в связи с миром.

Продолжу в ответе на Ваш новый комментарий.

[mns2012]

Кстати, я недооценил опасность такого взгляда на математику (в пределе обожествление математики как утверждение самостоятельной онтологической реальности математических объектов). В таком взгляде (лишь внешне наивном) сокрыта опасность варлаамизма. Как отражение варлаамизма, внутренне присущего римо-католичеству, можно рассматривать догматизацию Ватиканом теории Большого взрыва. Но это заметка на полях, что называется. Непосредственно это не связано с данным обсуждением, хотя и важно.